Эмблема узла   Справка
ИММ УрО РАН
Отдел уравнений математической физики
Расширенный поискВыполнить поиск
 (скрыто) Logon-Logoff
 Печать...
 Ehglish version is here English  Ehglish version is here Статистика 

Отдел уравнений математической физики был создан в Институте математики и механики в 1967 г. Некоторое время его сотрудники (под руководством д.ф.-м.н. Г.И.Шишкина) входили в состав отдела динамических систем. С 1994 г. по 2002 г. Отдел возглавлял академик РАН А.М.Ильин. В настоящее время отделом руководит д.ф.-м.н. А.Р.Данилин. А.М.Ильин продолжает работу в ОУМФ в качестве главного научного сотрудника и является неформальным научным руководителем исследований, проводимых сотрудниками отдела. Почти все сотрудники отдела являются учениками А.М.Ильина. Общее число штатных сотрудников отдела - 7, из них: 1 академик РАН, 3 доктора наук и 2 кандидата наук.

Научная тематика отдела: качественная теория, асимптотические и численные методы решения уравнений в частных производных. В отделе уравнений математической физики проводятся исследования асимптотических и численных методов решения сингулярно возмущённых краевых задач для эллиптических и параболических уравнений и систем уравнений, являющихся модельными для некоторых задач математической физики.

В отделе проведено строгое математическое обоснование асимптотики решений для широкого класса сингулярно возмущённых задач. Мощным инструментом исследований является метод согласования асимптотических разложений, разработанный и строго обоснованный академиком А.М.Ильиным.

Изучены, например, такие задачи, как обтекание тонкого тела плоским потоком идеальной жидкости и влияние малой диссипации на структуру ударной волны. Построены и обоснованы равномерные асимптотические разложения с точностью до любой степени малого параметра. Построены асимптотические ряды для решения в окрестности слабого и сильного разрыва предельного решения квазилинейной гиперболической системы дифференциальных уравнений.

Построены и обоснованы асимптотические разложения сингулярно возмущённых задач оптимального управления, включая задачи, описывающихся урвенениями эллиптического типа. Проведено исследование поведения решения тепловых задач с подвижным сосредоточенным источником тепла большой мощности.

С 1969 года в Отделе изучаются разностные схемы для уравнений с малым параметром при старших производных. А.М.Ильиным и его учениками построены и обоснованы разностные схемы, равномерно сходящиеся относительно малого параметра.

Для широкого класса линейных и квазилинейных сингулярно возмущённых краевых задач для стационарных и нестанционарных уравнений с особенностями решения Г.И.Шишкиным разработан метод построения монотонных специальных разностных схем, сходящихся равномерно по параметру возмущения. Рассматривались задачи, решения которых имеют особенности при фиксированных значениях параметров. Для квазилинейных уравнений, моделирующих распространение нелинейных ударных волн, построены и обоснованы схемы, аппроксимирующие решение и положение волны равномерно относительно параметра. Проведены численные исследования специальных схем и алгоритмов их решения в случае задач, описывающих тепловые и диффузионные слои.

 Основные публикации.
  1. Ильин А.М., Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Матем.сборник, 1960, т.50, N4, 9-12.
  2. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А., Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Успехи мат. наук, 1962, т.17, N3.
  3. Ильин А.М., Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной// Матем.заметки, 1969, т.6,N2.
  4. Ильин А.М., Согласование асимптотических разложений решений кра- евых задач /(Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems)// М.,"Наука"/(Translation of Mathematical Monographs, AMS, Providence, Rhode Island), 1989/(1992), 336/ (v.102, 281p).
  5. Ильин А.М., Об асимптотике решения одной задачи с малым параметром// Известия АН СССР, сер.матем., 1989, т.53,N2,258-275.
  6. Ильин А.М., Данилин А.Р., Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных// Доклады РАН, 1996, т.350, N 2, с.155-157.
  7. Ильин А.М., Гадыльшин Р.Р., Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью// Математический сборник, 1998, Т.189, № 4. С25-48.
  8. Ильин А.М., Данилин А.Р., О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия// Фундаментальная и прикладная математика, 1998, Т.3, № 4. С.25-48.
  9. Ильин А.М., Данилин А.Р., От слабого разрыва к градиентной катастрофе// Математический сборник, 2001, Т. 192, № 10. С.3-18.
  10. Данилин А.Р., Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью// Математический сборник, 2003, Т. 194, № 1. С.31-60.
  11. Данилин А.Р., Асимптотика решений системы сингулярных эллиптических уравнений в прямоугольнике// Математический сборник, 1998, Т. 189,№ 11. С.27-60.
  12. Шишкин Г.И., Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений// Екатеринбург: УрО РАН, 1992, 232 с.
  13. Шишкин Г.И.,Miller J.J.H., O'Riordan E., Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions// Singapore: World Scientific, 1996, 166 p.
  14. Шишкин Г.И.,Колмогоров В.Л., Numerical methods for singularly perturbed boundary value problems modelling diffusion processes // Singular Perturbation Problems in Chemical Physics, J.J.H.Miller ed, Advances in Chemical Physics Series// J.Wiley & Sons, New York, 1997, V. XCVII. P. 181-362.
  15. , Grid approximations for singular perturbed elliptic and parabolic equations// Ekaterinburg: UrO RAN, 1992, 232p.