Эмблема узла   Справка
ИММ УрО РАН
Отдел аппроксимации и приложений
Расширенный поискВыполнить поиск
 (скрыто) Logon-Logoff
 Печать...
 Ehglish version is here English  Ehglish version is here Статистика 

Проблематика теории функций с уклоном в теорию аппроксимации представлена в Институте Отделами теории приближения функций и аппроксимации и приложений.

Отдел теории приближения функций образован 29 декабря 1964 г. В это время группа по теории приближения функций, существовавшая в Отделе математического анализа с момента образования СОМИ (ныне ИММ УрО РАН), была преобразована в самостоятельный Отдел теории приближения функций. Руководителем группы и отдела до 1966 г. был зам. директора МИАН по СОМИ С.Б.Стечкин. С 1.01.66 г. по 27.03.69 г. отдел возглавлял Л.В.Тайков, с 27.03.69 г. по 22.08.73 г. - Н.И.Черных, с 22.08.73 г. по настоящее время - Ю.Н.Субботин. 22.08.73 г. при отделе была образована лаборатория численных методов, руководителем которой с момента образования по настоящее время является В.И.Бердышев.

В марте 1987 г. из отдела теории приближения функций выделился самостоятельный отдел аппроксимации и приложений, руководителем которого с момента образования по настоящее время является Н.И.Черных. Помимо работающих в отделах сотрудников, здесь в свое время работали также С.А.Теляковский, Л.В.Тайков, П.К.Суетин, А.П.Хромов, Ю.А.Шашкин, В.Ю.Попов, И.А.Пахнутов, Н.Л.Пацко, А.И.Васильев.

 Основные направления в научной тематике отделов

Классические вопросы теории приближений, связанные с аппроксимацией периодических функций тригонометрическими многочленами, экстремальные свойства алгебраических и тригонометрических полиномов, ортогональные многочлены, их асимптотические, аппроксимативные и экстремальные свойства.

Аппроксимативные и экстремальные свойства полиномиальных сплайнов и их обобщений (L-сплайны, Dm-сплайны, аналитические сплайны и т.п.), включая метод конечных элементов.

Наилучшее приближение неограниченных операторов линейными ограниченными, неравенства между нормами производных и функций, наилучшее восстановление неограниченных операторов на классах элементов при информации о них, известной с погрешностью, наилучшее приближение классов функций классами более гладких функций.

Экстремальные задачи теории наилучших приближений, разработка и исследование оптимального аппарата приближения различных классов функций, исследование их поперечников.

Геометрические вопросы теории наилучшего приближения и аппроксимативные свойства множеств в банаховых и метрических пространствах, свойства метрической проекции и более общих отображений, связанных с минимизацией функционалов в общих пространствах, и свойства сильной единственности в пространствах непрерывных функций.

Аппроксимация векторнозначных функций.

Всплески и фракталы.

Численные методы теории приближения функций и приложения, в частности, к задачам:

- автоматической навигации летательных аппаратов по геофизическим полям;

- неразрушающего контроля качества металлических изделий;

- медицинской диагностики заболеваний печени и поджелудочной железы у человека;

- расчет напряженно-деформированного состояния нагруженных пластических деталей машин;

- оптимизация геометрических и электрических параметров конструкций гибридных зеркальных антенн и синтеза амплитудно-фазового, фазового и двойного фазового управления положением и формой лучей таких антенн.

 Наиболее значительные результаты

Даны решения ряда задач в классических разделах теории приближений.

Завершено исследование по выводу асимптотически точных и равномерных по всем параметрам оценок уклонений функций класса Wr от их сумм Фурье. Построен линейный метод приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, обеспечивающий во всех пространствах Lp на периоде (p1) оценку джексоновского типа с константой 3/2 (С.Б.Стечкин).

Получены оценки аппроксимации дифференцируемых функций нескольких переменных кусочно-полиномиальными функциями, правильно зависящие от геометрии триангуляции области (Ю.Н.Субботин).

Исследована задача о приближении функций на отрезке в C и Lp алгебраическими и тригонометрическими полиномами с заданными линейными связями на их коэффициенты. Для стандартных классов дифференцируемых и аналитических на отрезке функций и широких классов линейных связей получены асимптотические формулы для соответствующих наилучших приближений индивидуальных функций с неулучшаемыми по порядку на классах функций остаточными членами (Н.И.Черных).

Найдены точные оценки для тригонометрических коэффициентов Фурье и для верхних граней уклонения в среднем функций от их сумм Фурье на классах функций с заданным модулем непрерывности (В.И.Бердышев).

Проведены исследования экстремальных задач, связанных с неравенством Джексона для наилучших приближений функций тригонометрическими полиномами в Lp на периоде (В.И.Бердышев, Н.И.Черных). Найдены оценки снизу наименьших констант в этих неравенствах для всех p [1,) (В.И.Бердышев), оказавшиеся при 1p2 и точными оценками сверху. При p=2 получено неравенство Джексона с наименьшей константой и наименьшим значением аргумента модуля непрерывности функций из L2(0,2) (Н.И.Черных). После обобщения В.А.Юдиным результата о точной константе в неравенстве Джексона в L2 на случай периодических функций нескольких переменных, данное неравенство удалось распространить и на пространства Lp(Tm), 1p<2 (В.И.Иванов, Тула, Н.И.Черных), а также на наилучшее приближение функций сферическими многочленами в L2 на m-мерной сфере (А.Г.Бабенко, В.В.Арестов). Результат о точной константе в неравенстве Джексона в L2 распространен также на дискретные функции на равномерных сетках (А.Г.Бабенко).

Вычислены нормы определенного класса операторов свертки в пространствах тригонометрических полиномов и алгебраических полиномов на окружности в интегральных -метриках. В частности, решена трудная задача о наименьшей константе в неравенстве Бернштейна для производных тригонометрического полинома в Lp при 0<p<1 (В.В.Арестов).

Проведены глубокие исследования по изучению асимптотических и экстремальных свойств ортогональных полиномов (алгебраических на отрезке и окружности, а также тригонометрических) и их производных при наличии особенностей веса, установлены аппроксимативные свойства почти всюду, в среднем (Lp) и в равномерной метрике соответствующих сумм Фурье (В.М.Бадков).

Выполнен комплекс исследований по теории приближения функций сплайнами. Доказаны теоремы существования интерполяционных и интерполяционных в среднем сплайнов при произвольном расположении равномерных узлов сплайна и равномерных узлов интерполяции, получены оценки погрешности аппроксимации различных классов функций (Ю.Н.Субботин), установлены соответствующие теоремы существования для L-сплайнов, порожденных линейным дифференциальным оператором L с постоянными коэффициентами и периодических сплайнов, порожденных оператором свертки (В.Т.Шевалдин).

Получены точные, асимптотически точные или точные по порядку оценки аппроксимации интерполяционными L-сплайнами, определяемыми дифференциальным оператором с постоянными и переменными коэффициентами (С.И.Новиков, А.А.Сазанов).

Получены окончательные результаты по аппроксимации интерполяционными кубическими сплайнами их производными при локальных ограничениях на соседние интервалы между узлами сплайна (Н.Л.Зматраков).

Разработан метод аппроксимации функций из Wrp на отрезке полиномиальными сплайнами с нефиксированными узлами и указаны точные по порядку оценки погрешности в Lq (Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных).

Для ограниченных и неограниченных областей в Rn с локально липшицевой границей доказаны теоремы существования интерполяционных Dm-сплайнов и получены правильные по порядку оценки погрешности аппроксимации в Wsq-полунормах классов Wrp для "почти равномерных" узлов интерполяции и всех допустимых s,q,r,p (О.В.Матвеев).

Большинство отмеченных выше задач исследовалось в их экстремальной постановке, и для них были найдены точные, асимптотически точные или точные по порядку решения. Из результатов, относящихся собственно к экстремальным задачам теории функций, следует отметить следующие.

Ю.Н.Субботин решил трудную задачу о продолжении сеточной функции с ограниченными n-ми разностями на всю вещественную ось с наименьшей n-ой производной (для разных метрик). Экстремальными функциями в этой задаче в метриках L и С оказались функции, ныне называемые полиномиальными сплайнами дефекта 1.

Этот результат был обобщен на произвольные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и использован для оценок соответствующих колмогоровских поперечников. Получены также оценки снизу таких поперечников для классов функций, порожденных оператором свертки, и на этом пути найдены колмогоровские поперечники в ряде новых случаев (В.Т.Шевалдин).

Разработана теория наилучшего приближения неограниченных линейных операторов ограниченными. В первую очередь здесь следует отметить вклад С.Б.Стечкина. Анализируя результаты теории некорректных задач с позиций теории приближения, С.Б.Стечкин сформулировал задачу о наилучшем приближении в Lp оператора дифференцирования Dk на классе функций Wn(Lr) на оси или полуоси линейными ограниченными операторами с заданной нормой из Ls в Lp и нашел ее решение в нескольких частных случаях, указывающее на связь этой задачи с экстремальными неравенствами колмогоровского типа для производных функций и с приближением одного класса дифференцируемых функций другим таким классом. Впоследствии эти задачи трансформировались в более общие экстремальные задачи, по которым ведутся интенсивные исследования в теории приближения, в теории некорректных задач, в вычислительной математике.

Установлены соотношения между модулем непрерывности на классе элементов банахова пространства неограниченного оператора, величиной наилучшего приближения такого оператора линейными ограниченными и наименьшей возможной погрешностью в некорректной задаче восстановления значения оператора на элементах класса, известных неточно. Выяснены также правильные соотношения между первыми двумя задачами и задачей наилучшего приближения одного класса элементов другим. Подробно изучена задача наилучшего приближения оператора, инвариантного относительно сдвига, на инвариантном классе элементов. Показано, что величина наилучшего приближения в пространствах Lp на оси оператора дифференцирования порядка k ограниченными операторами на классе n-раз дифференцируемых функций выражается через наименьшую константу в неравенстве между нормами производных функции в пространствах Lr,s, сопряженными для которых являются пространства мультипликаторов из Lr в Ls (В.В.Арестов).

Найдены необходимые и достаточные условия на параметры p,q,r>0,m,k при которых для функции n переменных из ее ограниченности в Lp и в Wmr(Rn) следует ограниченность в Lq k-ых производных и выписаны соответствующие неравенства. В ряде новых случаев вычислены точные константы в таких неравенствах. В задачах оптимального восстановления производных функций нескольких переменных из классов Соболева, определенных с ошибкой, найдены необходимые и достаточные условия конечности величины наилучшего приближения производных в метрике Lq, q>0 посредством (а) произвольных однозначных или (б) линейных операторов. Получены также общие результаты о существовании, характеризации и некоторых свойствах наилучших приближающих операторов (В.Н.Габушин).

В геометрической теории приближений в банаховых и линейных метрических пространствах изучены вопросы, связанные с наилучшим приближением элементов конечномерными подпространствами, подпространствами конечной коразмерности, выпуклыми множествами, изучены свойства чебышевских множеств и их обобщений, свойства устойчивости метрической проекции и более общих отображений, связанных с минимизацией функционалов, антипроксиминальные свойства множеств (В.И.Бердышев, Л.П.Власов, В.С.Балаганский, А.В.Маринов).

Охарактеризован класс пространств, для которых модуль непрерывности оператора наилучшего приближения стремится к нулю равномерно относительно всех подпространств, найден критерий непрерывности многозначного отображения, сопоставляющего каждому выпуклому множеству совокупность точек условного минимума выпуклого функционала (В.И.Бердышев).

Показано, что для того, чтобы метрическая проекция на любое выпуклое замкнутое множество в банаховом пространстве X была однозначной и непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы оно было строго выпуклым пространством Ефимова-Стечкина. Доказано также, что в равномерно выпуклом банаховом пространстве всякое чебышевское множество связно (Л.П.Власов).

Показано, что в равномерно выпуклом банаховом пространстве с нормой, дифференцируемой по Гато, чебышевское множество, у которого множество точек разрыва метрической проекции имеет мощность меньшую континуума, выпукло (В.С.Балаганский).

Найдены неулучшаемые по всем параметрам оценки величины, характеризующей устойчивость метрической d-проекции элементов линейного нормированного пространства на выпуклое множество M (модуля непрерывности оператора метрического d-проектирования) относительно ошибок задания (вычисления) проектируемого элемента и множества M. Получены условия равномерной сильной единственности, а также критерий сильной единственности элемента наилучшего чебышевского приближения (А.В.Маринов).

В задаче существования чебышевских систем непрерывных на компакте комплексных и векторных функций получены результаты, близкие к известной теореме Мэрхьюбера (В.А.Кощеев).

В отделах развиты численные методы аппроксимации в различных метриках функций одной и многих переменных многочленами, обобщенными полиномами, суммами экспонент (В.П.Кондратьев), рациональными дробями (Л.В.Петрак), сплайнами (Н.Л.Пацко, А.А.Сазанов), модулями обобщенных полиномов и т.д. Разработаны комплексы программ для решения названных задач на ЭВМ.

Предложенные методы и комплексы программ помогли решить ряд задач, связанных с разработкой новой техники: некоторые вопросы, связанные с управлением движением объектов, аппроксимация больших массивов метеорологических данных, расчет напряженно-деформированного состояния резинометаллических изделий, разработка неразрушающего контроля прочности некоторых изделий, диагностика нарушений кровотока в поджелудочной железе, оптимизация геометрии и характеристик гибридных зеркальных антенн, разработка оптимальных алгоритмов управления такими системами в том числе, только с двойным фазовым управлением.

Руководителями научных тем являются В.И.Бердышев, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных.

 Основные публикации.
  1. Арестов В.В., О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной// Труды МИАН СССР, 1975, Т.138. С.3--28.
  2. Арестов В.В., Наилучшее приближение неограниченных операторов, инвариантных относительно сдвига, линейными ограниченными операторами// Труды МИРАН, 1992, Т.198. С.3--20.
  3. Арестов В.В., Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981, Т.45, N 1. С.3--22.
  4. Арестов В.В., Габушин В.Н., Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными// Изв. ВУЗов, 1995, N 11. С.42--61.
  5. Бабенко А.Г., Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере// Матем. заметки, 1996, Т.60, вып.3. С.333--355.
  6. Бадков В.М., Поточечные оценки снизу модулей производных многочлена, ортогонального на окружности с весом, имеющим особенности// Матем. сб., 1995, Т.186, N 6. С.3--14.
  7. Бадков В.М., Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса// Труды МИРАН, 1992, Т.189. С.41--88.
  8. Балаганский В.С., Власов Л.П., Проблема выпуклости чебышевских множеств// УМН, 1996, Т.51, вып. 6. С.125--188.
  9. Berdyshev V.I., Polynomial approximation and geophysical-field navigation problem// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling., 1993, Vol. 6, N 2. P.83--100.
  10. Бердышев В.И., Субботин Ю.Н., Численные методы приближения функций// Свердловск: Средне-Уральск. кн. изд-во, 1979, .
  11. Власов Л.П., Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах// УМН, 1973, Т.28, N 6. С.3--66.
  12. Габушин В.Н., Неравенства между производными в метриках Lp при p больше 0 и меньше.// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976, Т.40, N 4. С.869--892.
  13. Габушин В.Н., Габушин В.Н. Неравенства между производными в метриках Lp при p больше 0 и меньше ... для функций многих переменных и оптимальное дифференцирование функций// Научн. докл. УрО РАН. Ин-т математики и механики. Свердловск, 1988, 56 с..
  14. Зматраков Н.Л., Сходимость кратных интерполяционных сплайнов и их производных// Труды МИАН СССР, 1989, Т.189. С.78--97.
  15. Кощеев В.А., О чебышевских системах локально аналитических функций// Матем. заметки, 1994, Т.55, N 4. С.35--46.
  16. Маринов А.В., О константах сильной единственности для наилучших равномерных приближений на компактах// Матем. заметки, 1983, Т.34, N 1. С.31--46.
  17. Матвеев О.В., Сплайн-интерполяция функций нескольких переменных и базисы в пространствах Соболева// Труды МИРАН, 1992, Т.198. С.125--152.
  18. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н., Сплайны в вычислительной математике// М.: Наука, 1975, .
  19. Субботин Ю.Н., Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции// Труды МИАН СССР, 1989, Т.189.
  20. Шевалдин В.Т., Оценки снизу поперечников классов функций, определяемых модулем непрерывности// Изв. РАН. сер. матем., 1994, Т.58, N 5. С.172--188.
  21. Черных Н.И., Приближение классов дифференцируемых функций сплайнами в весовых пространствах// Труды МИАН СССР, 1980, Т.145. С.169--247.
  22. Черных Н.И., О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2// Матем. заметки, 1967, Т.2, вып. 5. С.513--522.
  23. Черных Н.И., Неравенства Джексона в Lp (0,2) (1p<2) с точной константой// Труды МИРАН, 1992, Т.198. С.232--241.