Эмблема узла   Справка
ИММ УрО РАН
Отдел дифференциальных уравнений
Расширенный поискВыполнить поиск
Сектор функционально-дифференциальных уравнений
 (скрыто) Logon-Logoff
 Печать...
 Ehglish version is here English  Ehglish version is here Статистика 

Отдел образован в 1975 году. Организатором отдела и его заведующим до 1993 года был доктор физ.-мат. наук Ю.С.Осипов (с 1984 года, член-корреспондент АН СССР, с 1989 - действительный член АН СССР, с 1992 - президент Российской Академии Наук). С 1993 г. oтделом заведовал доктор физ.-мат. наук В.Л.Гасилов. Академик Ю.С.Осипов остается научным руководителем отдела.

 До 2004 г. отдел состоял из двух секторов. В начале 2004 г. на базе одного из секторов был образован новый отдел – отдел прикладных проблем управления. В это же время в состав отдела дифференциальных уравнений вошла группа функционально-дифференциальных уравнений (с 2014 г. - Сектор ФДУ).

В настоящее время в отделе работает 17 сотрудников. Среди них 1 академик РАН, 4 доктора наук и 6 кандидатов наук. Заведующий отделом – доктор физ.-мат. наук В.И.Максимов, руководитель группы функционально-дифференциальных уравнений – доктор физ.-мат. наук А.В. Ким.

До середины 1980-х годов научная тематика отдела относилась, в основном, к области позиционных дифференциальных игр для управляемых систем с бесконечномерным пространством фазовых состояний: системы с последействием, с распределенными параметрами, с неполной информацией и др. В последующие годы научные исследования в отделе велись по нескольким направлениям: обратные задачи динамики управляемых систем, задачи оптимизации для распределенных систем, задачи высокоточной навигации движущихся объектов, управляемые системы на дифференцируемых многообразиях, задачи обработки изображений, анализа пространственных сцен и распознавания образов в системах навигации и наведения, задачи математической геофизики и механики разрушения, моделирование сложных природных явлений, параллельные вычисления на многопроцессорных ЭВМ и т.д.

Помимо этого, отдел уделял внимание прикладным работам. Исследования проводятся по заданиям и в контакте с ведущими научными организациями и отраслевыми предприятиями. В ряде работ отдел выступал в качестве головной организации. Результаты исследований использованы в конструкторских разработках при создании образцов новой техники.

В настоящее время основные научные интересы сотрудников отдела связаны с исследованиями по следующим направлениям:

Исследования в области фундаментальной тематики

1. Робастное управление распределенными динамическими системами при ограничениях на фазовые состояния и управления.
2. Реконструкция структурных параметров и входных воздействий для многомерных и бесконечномерных динамических систем.
3. Позиционное управление распределенными системами.
4. Качественные методы дифференциальных уравнений.
5. Управление и моделирование функционально-дифференциальных уравнений на основе методов i-гладкого анализа.

Исследования в области приложений фундаментальных разработок

1. Методологические аспекты мониторинга окружающей среды.
2. Разработка моделей коммерциализации инноваций и технологического роста.
3. Моделирование сейсмичности и динамики литосферы.
4.  Поддержка, дальнейшее развитие и подготовка документации пакетов прикладных программ: «Time-Delay System Toolbox» (MATLAB), «Bio-Medical Software Package».
5. Математическое моделирование биомедицинских систем с наследственностью, в частности, математическое моделирование и компьютерная визуализация патофизиологических процессов при взаимодействии организма с возбудителями инфекций.

 Краткая характеристика основной научной тематики отдела.

Конфликтно управляемые системы и дифференциальные игры.

Для некоторых классов конфликтно управляемых систем с последействием, с распределенными параметрами, с неполной информацией, абстрактных динамических систем в гильбертовом пространстве и т.п. доказаны теоремы об альтернативе - о разрешимости одной и только одной из двух задач дифференциальной игры сближения-уклонения. В случае линейной динамики установлены условия регулярности, доставляющие конструктивные признаки разрешимости; построены разрешающие стратегии для задачи сближения. Для линейных систем с последействием аналогичные условия получены в отношении задачи уклонения. Указаны некоторые способы нахождения разрешающих стратегий с помощью конечномерных аппроксимирующих моделей. Ряд основных элементов теории позиционного управления распространен на системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с нелипшицевой по фазовой переменной правой частью: теоремы о седловой точке в стандартных классах стратегий, стохастическая аппроксимация смешанных стратегий, теоремы об унификации.

Результаты по теоpии конфликтного управления, полученные в отделе, отражены в более, чем 40 публикациях и докладывались на различных Всесоюзных и Международных конференциях, например, на Математическом конгрессе в Беркли (США, 1985), III Европейской конференции по управлению (Рим, 1995) (Ю.С.Осипов, А.В.Кряжимский, В.И.Максимов, А.И.Короткий).

Обратные задачи динамики.

Изучаются задачи о построении динамических, т.е. осуществимых в масштабе реального времени, устойчивых алгоритмов восстановления переменных параметров управляемых систем по результатам неточных измерений реализующегося движения. Математический аппарат базируется на методах теории позиционного управления и теории некорректных задач.

Предложен ряд динамических алгоритмов устойчивой аппроксимации входа (управления) по результатам измерения фазового вектора. При измерении полного фазового вектора в некоторых классах корректности установлены оценки погрешности среднеквадратичной аппроксимации и указан их точный порядок относительно уровня информационных помех. Построены алгоритмы устойчивой аппроксимации движения по измерениям неполного фазового вектора, доказана их оптимальность по порядку, даны условия асимптотической оптимальности. Изучены связи между различными постановками обратных задач, условия их разрешимости, приведены примеры неразрешимых постановок.

Для управляемых систем, описываемых линейными и нелинейными параболическими уравнениями с монотонными операторами и параболическими вариационными неравенствами, построены алгоритмы устойчивой динамической аппроксимации распределенных управлений (с возможным нелинейным вхождением в правую часть), а также граничных управлений и коэффициентов. Рассмотрены случаи малых отклонений результатов измерения от истинной траектории как в сильных, так и в слабых метриках фазового пространства. Указаны устойчивые динамические решения задачи об отслеживании местоположения источников возмущений. Для систем, описываемых линейными и некоторыми классами нелинейных гиперболических уравнений и вариационных неравенств, описан ряд динамических алгоритмов, устойчиво аппроксимирующих распределенные и граничные возмущения, а также коэффициенты фазового оператора. Описана общая схема устойчивой динамической аппроксимации переменных входов для систем с распределенными параметрами.

Результаты по теории обращения управляемых систем, полученные в отделе, нашли широкое признание как у нас в стране, так и за рубежом. Они докладывались на различных Всесоюзных и Международных конференциях, например, на 13,14,15 и 16 Конференциях ИФИП по системному моделированию и оптимизации, 5-ом Международном симпозиуме по динамическим играм и приложениям и т.д. В 1995 году в издательстве Gordon&Bearch вышла монография Ю.С.Осипова и А.В.Кряжимского, в которой отражены результаты по обращению управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Исследования, связанные с обращением систем с распределенными параметрами, находят применение в Международном институте прикладного системного анализа - IIASA, Лаксенбург, Австрия (Ю.С.Осипов, А.В.Кряжимский, В.И.Максимов, А.И.Короткий, В.Л.Розенберг).

Оптимизация формы области для эллиптических систем.

В центpе исследований задач об оптимизации фоpмы области, на котоpой pассматpивается решение эллиптической системы, находятся вопpосы о существовании оптимальной области и о непpеpывной зависимости pешения от области, а также вопpосы, связанные с pазpаботкой эффективных численных методов pешения задач оптимизации области. В pезультате теоpетических исследований изучены вопpосы существования оптимальной по заданному функционалу области опpеделения эллиптической системы и непpеpывной зависимости pешения задач Дирихле и Неймана от области. Для pяда задач, в том числе известных, доказано существование оптимальных областей (Ю.С.Осипов, А.П.Суетов).

Пpедложен эффективный численный метод pешения задач оптимизации области. В основе метода лежит постpоение однопаpаметpического семейства опеpатоpов, поpождающих специальный класс ваpиаций области. Метод pеализован в пакете пpикладных пpогpамм для персонального компьютера и пpедназначен для pешения конкpетных задач оптимизации (И.Н.Кандоба).

Задачи высокоточной навигации движущихся объектов.

Работы по анализу систем навигации и наведения по геофизическим полям проводились в отделе дифференциальных уравнений с 1975 года. Помимо разработки общих теоретических вопросов по данной тематике отдел принял участие более чем в 30 научно-исследовательских, опытно-конструкторских и экспериментальных работах. Наиболее существенные результаты в этом направлении состоят в следующем.

Были исследованы принципы построения высокоточных систем навигации и наведения, использующих коррекцию параметров движения по наблюдениям физических полей на различных этапах движения. Разработаны методы теоретической оценки достижимой точности коррекции навигационных ошибок и предложены эффективные алгоритмы управления движением. Исследованы проблемы подготовки эталонной информации, используемой при навигации летательных аппаратов и других движущихся объектов. Предложены методы преобразования и анализа пространственных сцен и наблюдаемых в ходе движения изображений, которые обеспечивают высокое качество конечного наведения. Корректность оценок достижимой точности и эффективность алгоритмов навигации подтверждены результатами обработки экспериментальных исследований (Ю.С.Осипов, В.Л.Гасилов, В.Б.Костоусов, А.П.Кукушкин).

Проводилось изучение динамических задач управления и оптимизации на дифференцируемых многообразиях. Установлен аналог принципа максимума Понтрягина для лагранжевых управляемых систем. Методы геометрии многообразий использованы при решении задач быстродействия в механических системах, при понижении порядка на основе анализа симметрий (А.П.Кукушкин).

Обработка и распознавание изображений.

Проводились работы по созданию высокопроизводительных алгоритмических и программных средств для автоматизированной обработки космо- и аэрофотоснимков земной поверхности при мониторинге природной среды и техногенных воздействий. Разрабатывались оперативные средства для целей картографирования, создания цифровых моделей местности, для быстрой и непрерывной оценки влияния природных процессов, катастроф и антропогенных воздействий на окружающую среду, хозяйственную деятельность, условия проживания (В.Л.Гасилов, В.Б.Костоусов, Е.Л.Сафронович).

Для широкого круга задач была создана экспертная система с базами топографических, геофизических и других данных. Разработаны комплексы программных средств для персональных и мощных многопроцессорных ЭВМ. Проводились исследования по сжатому представлению функций многих переменных, изображений, картографической, геофизической и другой информации с помощью аналитических и фрактальных методов. Созданы пакеты прикладных программ для решения задач топографии, морфоструктурного анализа, создания банков эталонной информации при навигации по геофизическим полям (В.Б.Костоусов, А.П.Кукушкин, В.Л.Гасилов, И.Н.Кандоба, Е.Л.Сафронович).

Большое место в прикладной тематике отдела в последнее время занимали задачи математической геофизики. Развивались методы моделирования и исследования динамики трехмерной блоковой структуры земной коры. Разрабатывались дискретные модели литосферы с большим числом разнородных элементов (жестких, упругих, пластичных, разрушаемых), была осуществлена их программная реализация на персональном компьютере и многопроцессорном вычислительном комплексе. Было предусмотрено наращивание сложности моделей как в количественном отношении - увеличение числа элементов вплоть до нескольких сотен тысяч, так и в качественном отношении - использование реальных геофизических данных и результатов морфоструктурного анализа, сложных механизмов деформирования и разрушения, учет процессов эволюции геологических структур. Был проведен масштабный вычислительный эксперимент по совершенствованию и идентификации моделей, по созданию искусственных каталогов землетрясений, по моделированию процессов субдукции (В.И.Максимов, В.Л.Гасилов, В.Л.Розенберг, Т.Д.Думшева, Л.А.Мельникова, Е.С.Зенкова, Б.В.Дигас).

Проводилась разработка алгоритмов численного моделирования трехмерного движения неоднородной вязкой жидкости, ориентированных на анализ медленных течений в верхней мантии Земли (А.И.Короткий, А.П.Суетов, И.А.Цепелев).

Исследовались задачи морфоструктурного анализа сейсмоактивных регионов. Целью работ являлось создание методов построения цифровых сейсмических карт и схем на основе топографической, тектонической, геологической, сейсмической и иной информации (В.Б.Костоусов, И.Н.Кандоба, Е.Л.Сафронович).

Проводились исследования томографических задач лучевой сейсмики на базе различных подходов (В.И.Максимов, И.Н.Кандоба, Б.В.Дигас). Созданы модели и программные средства для изучения крупномасштабных явлений в природе и технике, а также динамических процессов в сложно устроенных средах - многокомпонентные системы, механика прочности и разрушения, усталостные явления (В.Л.Гасилов, А.П.Кукушкин, Т.Д.Думшева, Е.С.Зенкова).

Эти задачи связаны с постановкой и проведением большого вычислительного эксперимента, и одним из главных направлений исследований отдела в последнее время являлось использование высокопроизводительных параллельных технологий в теоретических и прикладных задачах механики и управления, обработки изображений, математической геофизики, обратных задач динамики. Данные задачи хорошо сопрягаются с возможностями уникального многопроцессорного вычислителя, которым располагает Институт математики и механики УрО РАН.

 Основные публикации.
  1. Осипов Ю.С., Дифференциальные игры систем с последействием// Докл. АН СССР, 1971, т.194, N 6.
  2. Osipov Yu.S., Control problems under insufficient information. Lecture Notes in Control and Inform// Sciences, New York: Springer Verlag, 1988, v.113, pp.29-51.
  3. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V., Inverse problem of ordinary differential equations: dynamical solutions// Gordon and Breach, 1995, .
  4. Кряжимский А.В., К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения// Докл. АН СССР, 1978, т.239, N 4, с.779-782.
  5. Kryazhimskii A.V., Optimization of the ensured result for the dynamical systems// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1988, pp.1171-1179.
  6. Гасилов В.Л., Костоусов В.Б., Задача идентификации параметров движения объекта на основе обработки изображения внешнего информационного поля// Техническая кибернетика, 1994, N 3, с.78-86.
  7. Максимов В.И., Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем// Дифференциальные уравнения, 1990, 1991, I, т.26, N 12, с.2059-2067, II, т.27, N 4, с.597-603..
  8. Maksimov V.I., Approximation of an inverse problem for variational inequalities// Differential and Integral Equations, 1995, V.8, No.8, pp.2189-2196.
  9. Короткий А.И., Восстановление множества управлений по измерениям состояний эволюционной системы// Прикладная математика и механика, 1997, Т.61, вып.3.
  10. Kukushkin A.P., Necessary conditions of optimality for the control lagrangian system// Problems of Control and Information Theory, 1984, V.13 (4), pp.229-238.
  11. Суетов А.П., Оптимизация формы эллиптической системы с целью минимизации первого собственного числа// Доклады РАН, 1996, т. 346, с.309-311.